数学 : 微分
微分とは
xの関数 $ f(x) の微分は $ f'(x) として表す。
$ f'(x) は変数 $ x を変化させたときの xの関数 $ f(x) の変化の割合で計算される。
微分の英訳は differential
微分の計算
関数$ f(x) を x = a で微分する場合、以下のように計算できる。
$ f'(a) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
例1) $ x^2 の微分
$ x^2 を x = a で微分する計算式は以下のようになる。
$ f'(a) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$ = \lim_{h \rarr 0 } \frac{(a + h)^2 - a^2}{h}
$ = \lim_{h \rarr 0 } \frac{h^2 + 2ah}{h}
$ = \lim_{h \rarr 0 } (h + 2a)
$ = 2a
$ x^2 を x = a で微分すると $ 2a になる。
例2) $ x^n の微分
$ x^n を x = a で微分する計算式は以下のようになる。
$ f'(a) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$ = \lim_{h \rarr 0 } \frac{(a + h)^n - a^n}{h}
$ x^n の微分を計算したい場合は $ f'(a) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{(a + h)^n - a^n}{h} を計算すればよい
ここで、$ (a + h)^nを展開すると以下のようになる。
$ (a + h)^n = a^n + {}_n C _1 a^{n-1} h + {}_n C _2 a^{n-2} h^2 \cdots + {}_n C _{n-1} a h^{n-1} + h^n
両辺から $ a^n を引いて
$ (a + h)^n - a^n = {}_n C _1 a^{n-1} h + {}_n C _2 a^{n-2} h^2 \cdots + {}_n C _{n-1} a h^{n-1} + h^n
両辺をhで割って
$ \frac {(a + h)^n - a^n}{h} = {}_n C _1 a^{n-1} + {}_n C _2 a^{n-2} h^1 \cdots + {}_n C _{n-1} a h^{n-2} + h^{n-1}
極限 $ h \rarr 0 をとって
$ \lim_{h \rarr 0 } \frac{(a + h)^n - a^n}{h} = {}_n C _1 a^{n-1} = n a^{n-1}
$ f'(a) = n a^{n-1} となるので、$ x^n を微分すると $ nx^{n-1} になる
数学用語
$ f'(a) を微分係数と呼ぶ.
$ f'(a) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$ f'(x) を導関数と呼ぶ
$ f'(x) = \lim_{h \rarr 0 } \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
「導関数を計算する」ことを「微分する」と言う
参考URL
導関数の意味といろいろな例
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